родился в еврейской семье промышленников занимавшихся производством сукна для униформы армии Германии в период Первой Мировой войны.
Его родители Бенджамин и Мириам Каган построили в Каунасе успешный текстильный бизнес 

​

В 1941 году семья Кагана вместе с остальными евреями города Ковно оказалась в гетто.
 

В 1944 году Каган с женой и матерью ухитрился бежать из гетто. Несколько месяцев, оставшихся до прихода Красной армии, они прятались на фабрике, которая когда-то принадлежала отцу Джозефа.

​

Джозефу Кагану удалось вывезти свою семью в Aнглию в 1946 году.
Он поселился в Хаддерсфилде и начал работать ткачом одеял. 

Он основал Kagan Textiles Ltd. на небольшой фабрике напротив ратуши Элланда .

​

В 1951 году Каган изобрел Gannex и начал шить водонепроницаемые

плащи из этой ткани.

​

После того, как тогдашний представитель оппозиции и будущий

премьер-министр страны Гарольд Уилсон носил пальто Gannex во время

мирового турне в 1956 году, плащи стали иконами моды, их носили

мировые лидеры, такие как Линдон Джонсон, Мао Цзэдун и Никита Хрущев,

а также королева Елизавета и герцог Эдинбургский. Кроме того, их носили исследователи Арктики и Антарктики, гималайские альпинисты,

вооруженные силы и полиция Великобритании и Канады. 

​

Каган за свое изобретение был в 1970 году удостоен звания рыцаря, а в 1976 году стал пэром Aнглии.